1.
Egy szigeten hazugok, füllentők és igazmondók laknak. A hazugok mindig hazudnak, az igazmondók mindig igazat mondanak, a füllentők néha igazat mondanak, néha hazudnak. A sziget három lakója bíróság előtt áll. A bűntényt egyikük követte el.
A bűnös igazmondó volt, mégpedig az egyetlen igazmondó hármuk közül.
A következőket állították:
A: Ártatlan vagyok.
B: Ez igaz.
C: B nem füllentő.
Melyikük a bűnös? A másik két személy a lakosság melyik csoportjához tartozik?
VálaszB a bűnös. A és C füllentő.
2.
Adott az alábbi tíz állítás, amelyek mindegyike vagy igaz, vagy hamis.
1. Az utolsó két állítás közül legalább az egyik igaz.
2. Ez az első igaz vagy az első hamis állítás.
3. Van három egymást követő hamis állítás.
4. Az utolsó igaz állítás és az első igaz állítás sorszáma közötti különbség az ismeretlen szám osztója.
5. Az összes igaz állítás sorszámának összege maga az ismeretlen szám.
6. Nem ez az utolsó igaz állítás.
7. Minden igaz állítás sorszáma osztója az ismeretlen számnak.
8. Az ismeretlen szám egyenlő az állítások közt szereplő igaz állítások százalékos arányával.
9. Az ismeretlen szám összes osztójának száma (kivéve az egyet és önmagát) is több, mint az igaz állítások sorszámának összege.
10. Nincs három egymást követő igaz állítás.
Melyik ez az ismeretlen szám?
Válasz420
Megoldás(2) miatt (1) mindenképpen hamis, és így (9) és (10) is az.
(6) nem lehet hamis, mert akkor azt állítaná, hogy ez az utolsó igaz állítás, ami paradoxon. Vagyis (6) igaz, és így (7) vagy (8), esetleg mindkettő igaz.
Mindkettő azonban nem lehet igaz, mert (7) miatt a szám 6-nak, 7-nek és 8-nak többszöröse, vagyis többszöröse 168-nak (legkisebb közös többszörös); (8) miatt viszont kisebb, mint 100.
Ha (8) hamis, (3) igaz (8, 9 és 10 hamis); ha (8) igaz, (3) hamis. Így két eset áll elő:
A: F ? F ? ? T F T F F vagy
B: F ? T ? ? T T F F F.
A esetben
(4) és (5) igaz a hamis (10) miatt, (2) pedig lehet igaz vagy hamis. (5) szerint a szám lehet 27 (2+3+4+5+6+7) vagy 25 (3+4+5+6+7). Ezek egyike sem felel meg (8)-nak, ezért az A eset nem jöhet szóba, marad tehát a
B eset.
(7) miatt 3, 6 és 7 osztók, ezért a szám 42-nek többszöröse. Mivel 2+3+4+5+6+7=27, (5)-nek hamisnak kell lennie. (10) miatt (2) és (4) igaz kell legyen, ezért 5 osztója a számnak.
Tehát a szám osztói 2, 3, 4, 5, 6 és 7. Ezek legkisebb közös többszöröse 420, a keresett szám tehát 420 többszöröse.
A 420-nak 22 valódi osztója van (2,3,4,5,6,7,10,12,14,15,20,21,28,30,35,42,60,70,84,105, 140,210), az igaz állítások sorszámának összege 22 (2,3,4,6,7); így 420 egyetlen olyan többszöröse, ami (9)-nek eleget tesz, a 420.
3.
Az ismeretlen szám (könnyített változat)
Adott az alábbi tíz állítás, amelyek mindegyike vagy igaz, vagy hamis.
1. Az utolsó két állítás közül legalább az egyik igaz.
2. Ez az első igaz vagy az első hamis állítás.
3. Van három egymást követő hamis állítás. Ez az állítás biztos, hogy IGAZ.
4. Az utolsó igaz állítás és az első igaz állítás sorszáma közötti különbség az ismeretlen szám osztója.
5. Az összes igaz állítás sorszámának összege maga az ismeretlen szám.
6. Nem ez az utolsó igaz állítás.
7. Minden igaz állítás sorszáma osztója az ismeretlen számnak.
8. Az ismeretlen szám egyenlő az állítások közt szereplő igaz állítások százalékos arányával. Ez az állítás biztos, hogy HAMIS.
9. Az ismeretlen szám összes osztójának száma (kivéve az egyet és önmagát) is több, mint az igaz állítások sorszámának összege.
10. Nincs három egymást követő igaz állítás.
Melyik ez az ismeretlen szám?
Válasz420
MegoldásA helyes megfejtés: 420
(2) miatt (1) mindenképpen hamis, és így (9) és (10) is az.
(6) nem lehet hamis, mert akkor azt állítaná, hogy ez az utolsó igaz állítás, ami paradoxon. Vagyis (6) igaz, és így (7) vagy (8), esetleg mindkettő igaz.
Mindkettő azonban nem lehet igaz, mert (7) miatt a szám 6-nak, 7-nek és 8-nak többszöröse, vagyis többszöröse 168-nak (legkisebb közös többszörös); (8) miatt viszont kisebb, mint 100.
Ha (8) hamis, (3) igaz (8, 9 és 10 hamis); ha (8) igaz, (3) hamis. Így két eset áll elő:
A: F ? F ? ? T F T F F vagy
B: F ? T ? ? T T F F F.
A esetben
(4) és (5) igaz a hamis (10) miatt, (2) pedig lehet igaz vagy hamis. (5) szerint a szám lehet 27 (2+3+4+5+6+7) vagy 25 (3+4+5+6+7). Ezek egyike sem felel meg (8)-nak, ezért az A eset nem jöhet szóba, marad tehát a
B eset.
(7) miatt 3, 6 és 7 osztók, ezért a szám 42-nek többszöröse. Mivel 2+3+4+5+6+7=27, (5)-nek hamisnak kell lennie. (10) miatt (2) és (4) igaz kell legyen, ezért 5 osztója a számnak.
Tehát a szám osztói 2, 3, 4, 5, 6 és 7. Ezek legkisebb közös többszöröse 420, a keresett szám tehát 420 többszöröse.
A 420-nak 22 valódi osztója van (2,3,4,5,6,7,10,12,14,15,20,21,28,30,35,42,60,70,84,105, 140,210), az igaz állítások sorszámának összege 22 (2,3,4,6,7); így 420 egyetlen olyan többszöröse, ami (9)-nek eleget tesz, a 420.
4.
Egy szigeten olyan emberek laknak, akik kérdésekben beszélgetnek vagyis sohasem mondanak állításokat. Az A típusú szigetlakók csak olyan kérdéseket tesznek fel, amelyekre a helyes válasz Igen, a B típusúak olyanokat, amelyekre a helyes válasz Nem.
A szigeten sétálva találkozunk három nővérrel, akiknek a neve Alice, Betty és Cynthia.
Alice ezt kérdezte Bettytől: "Olyan típusú vagy, aki megkérdezheti Cynthiától, hogy ő olyan típusú-e, aki megkérdezheti tőled, hogy ti ketten különböző típusúak vagytok-e?"
Milyen típusúak a lányok?
VálaszA megoldás nem egyértelmű, mert 4 db megoldás is van:
Alice Betty Cynthia
-------- -------- --------
1. B típusú A típusú A típusú
2. B típusú A típusú B típusú
3. B típusú B típusú A típusú
4. B típusú B típusú B típusú
Megoldás Először egy kis jelmagyarázat:
A - Alice
B - Betty
C - Cynthia
i - "igen" válasz (A típusú szigetlakó)
n - "nem" válasz (B típusú szigetlakó)
És most lássuk: 2 fele bontottam a kérdést ("belülről" "kifelé" /hátulról előre/
haladva, mert eredeti formájában egy kissé "tömény" volt, és úgy nehezebben
kezelhető).
I. kérdés:
C olyan típusú,hogy
C megkérdezheti B-t, hogy (B típusa) <> (C típusa) ?
Vázoljuk fel az összes esetet:
B C Válasz az I. kérdésre
----------------------------
1. i i NEM, mert B típ. = C típ., vagyis C kérdésére a helyes válasz az, hogy
"nem", holott "igen"-nel kellene válaszolni C típusa miatt
2. i n NEM, mert B típ. <> C típ., vagyis C kérdésére a helyes válasz az, hogy
"igen", holott "nem"-nel kellene válaszolni C típusa miatt
3. n i IGEN, minden stimmel
4. n n IGEN, minden stimmel
Vagyis az I. kérdésre a helyes válasz az 1-2. esetben NEM, a 3-4. esetben IGEN.
II. kérdés:
B olyan típusú,hogy
B megkérdezheti C-t, hogy az I. kérdésre IGEN a válasz ?
Nézzük az összes lehetséges esetet:
B C Válasz I.-re Válasz a II. kérdésre
-----------------------------------------
1. i i NEM NEM, mert ekkor B kérdésére a helyes válasznak
"igen"-nek kellene lennie, ezzel szemben
a helyes válasz "nem", mert "NEM" a válasz
2. i n NEM NEM, ugyanaz az eset, mint az előbb
3. n i IGEN NEM, mert ekkor B kérdésére a helyes válasznak
"nem"-nek kellene lennie, ezzel szemben a
helyes válasz "igen", mert "IGEN" a válasz
4. n n IGEN NEM, ugyanaz az eset, mint az előbb
Így az eredeti, feladványban feltett kérdésre is megkaptuk a választ, vagyis
Alice kérdésére minden esetben "NEM" a helyes válasz, tehát Alice B típusú
szigetlakó. Betty-ről és Cynthia-ról pedig nem tudjuk, ők bármelyik típusból
valók lehetnek, ez nem befolyásolja az Alice-ről megállapított hovatartozást.
Vagyis a megoldás nem egyértelmű, mert 4 db megoldás is van:
Alice Betty Cynthia
-------- -------- --------
1. B típusú A típusú A típusú
2. B típusú A típusú B típusú
3. B típusú B típusú A típusú
4. B típusú B típusú B típusú
Egy második egyszerűbb(nek tűnő) megoldás:
Először is formalizáltam azt a kacifántos mondatot:
A<=>(B<=>(C<=>(B xor C)))
A betűk logikai változók, jelentésük:
A: Alice A típusú
B: Betty A típusú
C: Cynthia A típusú
"Kisebb" átalakítások után A=0 maradt. Azaz a kacifántos kérdésből az derült
ki, hogy Alice B típusú, a többiekről nincs infó.
5.
Három testvér (Kati, Ila és Sanyi) édesanyja észrevette, hogy eltűnt az az öt tábla csokoládé, amelyet a másnapi kirándulásra tett félre. Kérdőre vonta hát a gyerekeket, de mindhárom a következőket mondta: 'Én nem nyúltam egyik csokoládéhoz sem!'. Édesanyjuk azonban jól tudta, hogy más nem vihette el a csokoládékat, így tovább faggatózott. Az alábbiak hangzottak el:
Kati: Ila többet vett el, mint Sanyi!
Ila: (Katinak): Hazudsz!
Sanyi: Kati és Ila vette el mindet!
Kati: (Sanyinak): Hazudsz!
A végső tisztázásnál kiderült, hogy minden gyerek pontosan annyiszor vallott hamisan, ahány tábla csokoládét elvett.
Ki mennyi tábláért felelős?
MegoldásÖsszesen 7 állítás hangzott el (ezekből 5 hamis).
Sanyi állításai:
• Egyet sem evett: S=0;
• Kati es Ila ette meg az összeset: K+I=5; azaz S=0;
Kati állításai:
• Egyet sem evett: K=0;
• Ila többet vett, mint Sanyi: I > S
• Megcáfolja Sanyi állítását: nem(K+I=5), azaz S > 0;
Ila állításai:
• Egyet sem evett: I=0;
• Megcáfolja Kati állítását: nem(I > S), azaz I <= S;
Katinak és Ilának összesen 5 állítása volt, de ezek közül nem lehet mindegyik hamis, mert Kati és Ila egymásnak ellentmondanak egy-egy állításukkal. Emiatt Kati és Ila nem ehette meg az összeset.
Sanyinak mindkét állítása ugyanazt fejezi ki, azaz vagy 0 vagy 2 hamis állítás illetve csokoládé terheli a számláját. Nulla az előbbiek miatt nem lehet, hiszen akkor Kati es Ila kellett volna, hogy az összeset megegye.
Tehát Sanyi 2-t evett(S = 2). Ez esetben az S > 0 állítás igaz. Emiatt Katinak legfeljebb 2 hamis állítása lehet. Ilának is legfeljebb ennyi lehet (hiszen ő csak 2 állítást mondott).
Igy I <= 2 és K <= 2. (Azaz I = 2, K = 1 vagy I = 1, K = 2.) Ezért Kati I > S állítása hamis és Ila I <= S állítása igaz, vagyis Ilának nem lehet 2 hamis állítása, tehát a fentiek miatt csak az I = 1, K = 2 eset jöhet szóba. Az S = 2, K = 2, I = 1 viszont a feladat minden feltételét teljesíti.
6.
Ez a feladat is egy szigeten játszódik, a lovagok, lókötők és normálisok szigetén. A lovagok mindig igazat mondanak, a lókötők mindig hazudnak, a normálisok hazudhatnak is és igazat is mondhatnak, ahogy éppen kedvük tartja.
Ez az eset három vádlott, A, B és C bírósági tárgyalásáról szól. Már a tárgyalás kezdetén tudni lehetett, hogy hármuk közül az egyik lovag, a másik lókötő, a harmadik pedig kém, aki normális. A tárgyalásnak a kémet kellett volna lelepleznie.
Először A-t szólították fel, hogy tegyen vallomást. A vagy azt mondta, hogy C lókötő, vagy azt, hogy C kém, nem tudjuk, hogy a kettő közül melyiket. Ezután B következett, aki vagy azt mondta, hogy A lovag, vagy azt, hogy A lókötő, vagy azt, hogy A a kém, nem tudjuk, hogy melyiket. Ezután C vallott B-röl, és vagy azt mondta, hogy B lovag, vagy azt, hogy B lókötő, vagy azt, hogy B a kém, nem tudjuk, hogy melyiket. A bíró viszont meg tudta állapítani, hogy ki volt a kém, és vádat is emelt ellene.
Elmesélték ezt az esetet egy matematikusnak, aki gondolkodott rajta egy darabig, aztán így szólt: "Kevés az információ ahhoz, hogy meg tudjam mondani, ki a kém." Ezután elárulták neki, hogy mit mondott A, és ekkor már ki tudta találni, hogy ki volt a kém.
Melyikük a kém, A, B vagy C?
(Smullyan feladata)
Válasz A B a kém.
MegoldásKét lehetőség van: vagy azt mondták a matematikusnak, hogy A azt mondta, C lókötő, vagy azt, hogy A azt mondta, hogy C kém.
Első lehetőség: A azt mondta, hogy C lókötő.
B vallomását tekintve ekkor 3 eset lehetséges.
a: B azt mondta, hogy A lovag. Ekkor (1.) ha A lovag, akkor C lőkötő (mert ezt mondta) és így B a kém; (2.) ha A lókötő, akkor B állítása hamis, vagyis B kém és így C a lovag; (3.) ha a a kém, akkor B állítása hamis, vagyis B lókötő, így C a lovag. Most tegyük fel, hogy C azt mondja, hogy B a kém. Ekkor 1. és 3. kizárható. Így csak a 2. maradt, ebben az esetben a bíró tudná, hogy B a kém. Ha C azt mondta, hogy B lovag, akkor csak az 1. teljesül, amit a bíró is tudna, és megintcsak B-t vádolná. Most tegyük fel, hogy C azt mondta, hogy B lókötő. Ekkor a bíró nem tudhatta volna, hogy az 1. vagy a 3. teljesül, nem tudta volna, hogy A vagy B a kém, ezért nem emelhetett volna vádat. Emiatt C nem mondhatta, hogy B lókötő. (Legalábbis ebben az esetben.)
Vagyis ha a: teljesül, akkor a bíró csak B-t vádolhatta.
b: B azt mondta, hogy A kém. Az előzőhöz hasonlóan 3 eset lehetséges. (1.) A lovag, B kém, C lókötő; (2.) A lókötő, B kém, C lovag; (3.) A kém, B lovag, C lókötő. Ha C azt mondta, hogy B a kém, akár (2.), akár (3.) teljesülhet, és a bíró nem tudhatta volna, ki a bűnös. Ha C azt mondta, hogy B lovag, akkor csak (1.) teljesülhet és a bíró B ellen emel vádat. Ha C azt mondta, hogy B lókötő, akkor (1.) és (3.) is teljesülhet, a bíró ekkor sem emelhet vádat. Emiatt C-nek azt kellett mondania, hogy B lovag, és B ellen emeltek vádat.
Vagyis a b: esetben is B volt az, aki ellen vádat emeltek.
c: B azt mondta, hogy A lókötő. Ebben az esetben 4 lehetőség van. Ezt már nem írom le végig, 2 lehetőségnél nem emelhet a bíró vádat, 2 esetben ismét csak B ellen emel.
Összességében ha az első lehetőség áll fenn, akkor csak B lehet a kém. Tehát ha azt mondták a matematikusnak, hogy A azt mondta, hogy C lókötő, akkor megoldhatta a feladatot, és tudhatta, hogy B volt a kém.
Második lehetőség: Azt mondták a matematikusnak, hogy A azt mondta, hogy C kém.
Ekkor a matematikus nem tuda volna megoldani a feladatot, mert lehetséges lenne, hogy a bíró A-t vádolta, és az is, hogy a bíró B-t vádolta, és a matematikus nem tudhatta, hogy melyiket.
Ennek bizonyításához tegyük fel, A azt mondta, hogy C a kém. Megmutatom, hogy ekkor lehetséges, hogy a bíró A-t vádolta, a következőképpen: Tegyük fel, B azt mondta, hogy A lovag, C pedig azt, hogy B lókötő. Ha A a kém, akkor B lehet lókötő (aki hamisan állította, hogy A lovag), és C lehet lovag (aki igazat mondott, miszerint B lókötő). A kém (A) állíthatta hamisan, hogy C a kém. Vagyis tényleg lehetséges, hogy A, B és C ezeket állították, és A a kém. Ha most B volna a kém, akkor A-nak lókötőnek kellene lennie ahhoz, hogy azt mondhassa, C a kém, és C-nek is lókötőnek kell lennie, hogy azt mondhassa, B lókötő; így ez nem lehetséges. Ha C volna a kém, akkor A-nak lovagnak kellene lennie, hogy az igazságnak megfelelően azt mondhassa, hogy C a kém, és B-nek is lovagnak kellene lennie, hogy az igazságnak megfelelően azt állíthassa, A lovag; így ez sem lehetséges. Tehát csak A lehet kém (ha B azt mondta, hogy A lovag, C pedig azt mondta, hogy B lókötő). Vagyis lehetséges, hogy A-t vádolták.
Most megmutatom, miként lehetséges, hogy B-t vádolták: Tegyük fel, B azt mondta, hogy A lovag, C pedig azt, hogy B a kém. (Azt továbbra is feltesszük, hogy A azt mondta, hogy C a kém.) Ha A a kém, akkor B lókötő, hiszen azt állította, hogy A lovag, és C is lókötő, hiszen az állította, hogy B a kém; így ez nem lehetséges. Ha C a kém, akkor A lovag (mert azt mondta, hogy C a kém), és B is lovag, mert azt mondta, hogy A lovag, így ez sem lehetséges. De ha B a kém, akkor nem jutunk ellentmondásra. (A lehet lókötő, aki azt mondja, hogy C a kém; C lehet lovag, aki azt mondja, hogy B a kém; és B mondhatta, hogy A lovag.) Vagyis lehetséges, hogy A, B és C ezeket állították, és ebben az esetben a bíró B-t vádolta.
Ezzel megmutattam, hogy ha A azt mondja, hogy C a kém, akkor lehetséges, hogy a bíró A-t vádolta, és az is lehetséges, hogy a bíró B-t vádolta, és nem tudhatjuk, hogy melyiküket. Emiatt, ha a matematikusnak azt mondták volna, hogy A azt mondta, hogy C a kém, akkor a matematikus semmiképpen nem tudta volna megoldani a feladatot. De tudjuk, hogy megoldotta, így csak azt mondhatták neki, hogy A azt mondta, C lókötő. Ekkor a bíró csak B-t vádolhatta. Vagyis B a kém.