1.
Mennyi idős a három lánytestvér?
Ha a nővérek életkorát összeszorozzuk akkor 36-t, ha összeadjuk, akkor 13-t kapunk.
A legidősebb lány szőke.
Válasz2; 2 és 9
Megoldás36 = 2232
A lányok életkora a következő lehet:
1. / 2; 3 és 6 (összeadva 11)
2. / 2; 2 és 9 (összeadva 13)
3. / 4; 9 és 1 (összeadva 14)v
4. / 4; 3 és 3 (összeadva 10)
5. / 12; 3 és 1 (összeadva 16)
6. / 6; 6 és 1 (összeadva 13)
7. / 18; 2 és 1 (összeadva 21)
8. / 36; 1 és 1 (összeadva 38)
A lányok életkora vagy 2; 2; 9 vagy 6; 6; 1.
Mivel csak a legidősebb lány a szőke, ezért a megoldás: 2; 2 és 9
2.
- Érdekes dolog - meséli Zsuzsa -, hogy anyám életkora pontosan a fele az apám és az én életkorom összegének, apám és anyám együtt 100 évesek, és mindkettőjük életkora törzsszám.
Vajon hány éves vagyok?
VálaszZsuzsa életkora 23 év.
MegoldásLegyen Zsuzsa anyja x, apja y éves, és Zsuzsa életkora z.
Ekkor x és y törzsszámok, x + y = 100, és x = (y + z) / 2 .
Továbbá nyilvánvalóan kell, hogy x és y is legalább 12-vel nagyobb legyen, mint z. 100 többféleképpen bontható két törzsszám összegére, így pl. 100 = 41 + 59 = 53 + 47 = 71 + 29 stb.
Azonban Zsuzsa és szülei közti életkor-különbség a legelső felbontás kivételével mindegyiknél kisebb lenne, mint 10 év, ami nyilván nem lehetséges. Így Zsuzsa apja 59, anyja 41 éves, s ebből
Zsuzsa életkora 23 év.
3.
Megkérdeztem egyik barátomat, hogy családjának tagjai hány évesek. Barátom híres arról, hogy semmire sem hajlandó egyenes választ adni, így természetesen erre a kérdésre sem, melyre így válaszolt:
- Hat év múlva apám háromszor annyi idős lesz, mint én voltam akkor, amikor apám éveinek száma egyenlő volt az én és húgom akkori évei számának összegével. Jelenlegi korom ugyanannyi, mint apám kora volt akkor. 19 év múlva apám kétszer olyan idős lesz, mint a húgom ma.
Most már tudjuk, hány évesek barátom családtagjai?
VálaszAz apa 69 éves, barátom 47 éves és húga 44 éves jelenleg.
MegoldásLegyen barátom apjának, barátomnak és húgának életkora rendre x, y, z.
Tegyük fel, hogy u évvel ezelőtt volt az apa életkora ugyanakkora, mint barátom s húga akkori életkorának összege.
Az elbeszélés szerint:
(1) x + 6 = 3 (y - u),
(2) x - u = (y - u) + (z - u),
(3) y = x - u,
(4) x + 19 = 2 z.
(2) bal oldala és (3) jobb oldala megegyezik, tehát a másik két oldal is egyenlő, vagyis y = (y - u) + (z - u), és így z = 2 u. z ezen értékét (4)-be helyettesítve x = 4 u - 19, s ezt (3)-ba helyettesítve
y = x - u= 3 u - 19.
Sikerült x és y-t u-val kifejeznünk, s így ezeket (1)-be téve már csak egy ismeretlen maradt az egyenletben.
4 u - 13 = 3 (2 u - 19) = 6u - 57, ahonnan is u = 22,és így x = 4u - 19 = 69, y = 3 u - 19 = 47, z= 2 u = 44.
Az ilyen bonyolultabb feladatoknál rendszerint célszerű sok ismeretlent bevezetni. mert akkor a feladat feltételei könnyen áttekinthetőkké válnak, s könnyű az egyenleteket felállítani. A fenti rejtvény megoldásánál is, a négy ismeretlen segítségével minden nehézség nélkül sikerült a rejtvényt megoldani.
Az ilyenfajta rejtvények legtöbbjénél célt lehet érni 1 vagy 2 ismeretlen segítségével is. Ilyenkor azonban sokkal nehezebb az egyenletek felállítása. Példaként oldjuk meg a fenti feladatot csupán 2 ismeretlennel.
Jelölje x és y barátom, illetve barátom húgának életkorát abban az időpontban, amikor az apa életkora x + y év volt.(Az előző megoldásban ez u évvel ezelőtt volt).
Az apa életkora és barátom életkora közötti különbség tehát y év. Mivel a feladat szerint barátom jelenleg olyan idős, mint barátom apja volt a fent említett időpontban, barátom jelenleg x + y éves, vagyis a kérdéses időpont óta y év telt el, tehát az apa jelenleg x + 2 y, húga 2 y éves.
A szöveg szerint
x + 2 y + 6 = 3 x,
x + 2 y + 19 = 4 y.
Az első egyenletből x = y + 3, amit a másodikba helyettesítve y + 3 +2 y + 19 = 4 y, amiből y = 22
és így x = 25.
Tehát jelenleg az apa x + 2 y = 69 éves, barátom x + y = 47 éves, és húga 2 y = 44 éves.
4.
Egy férfi, hogy elüsse egy unalmas estéjét, bemegy a bárba, rendel egy italt, és szóba elegyedik a csapossal.
Kis idő múlva megtudja, hogy a csaposnak három gyermeke van.
- És mennyi idősek a gyermekeid?
- Hát, életkoruk szorzata 72.
- Ennyiből képtelenség kitalálnom!
- Rendben van, ha kimész a bárból, és megnézed a házszámot, megtudod az életkorok összegét is.
A fickó kimegy, megnézi a számot és elgondolkodik.
- Még mindig nem tudok rájönni.
A legfiatalabb nagyon szereti az eperfagyit - mondja mosolyogva a csapos.
A kíváncsi férfinak ekkor felcsillan a tekintete.
- Most már tudom!
Mennyi idősek hát a gyerekek?
VálaszA csapos gyermekei 6, 6 és 2 évesek.
MegoldásAz első információ alapján (az életkorok szorzata 72) a gyermekek életkora a következő. lehet.
A negyedik oszlopban az életkorok összege szerepel:
72 1 1 74
36 2 1 39
24 3 1 28
18 4 1 23
18 2 2 22
12 6 1 19
12 3 2 17
9 4 2 15
9 8 1 18
8 3 3 14
6 6 2 14
6 4 3 13
Ha a második információ sem elég, hogy a három életkort megtudjuk. akkor az összeg egy olyan szám, ami két permutációnak is az összege.
Ilyen összeg csak egy van, a 14. A lehetséges életkorok ekkor a 8, 3, 3 és a 6, 6, 2. A harmadik információ szerint van legfiatalabb gyermek, ezért nem jó az a megoldás, ahol két 3 éves gyerkőc van. A csapos gyermekei tehát 6, 6 és 2 évesek.
5.
Egy hajó hosszának, az árboc magasságának, a kapitány kisfia életkorának és a kapitány életkorának szorzata 303.335.
Hány éves a kapitány?
Válasz31 éves
Megoldás31 éves, mert 303.335 = 103 x 31 x 19 x 5 (prímtényezőkre bontva), és 103 öreg lenne kapitánynak, de jó hajóhossznak. 5 túl fiatal kapitánynak és árbocmagasságnak, de a fia életkora lehet. 19 túl fiatal kapitánynak és túl idős a gyermeknek, így ez lesz az árboc.
6.
A kapitány most kétszer annyi idős. mint a hajója volt akkor, amikor a kapitány volt annyi idős, mint most a hajója. A kapitány és a hajója összesen 70 éves.
Hány éves a kapitány?
Válasz40 éves
MegoldásJelölje x a kapitány mostani életkorát, tehát: 70 - x.
A régi életkora tehát: 70 - x = x / 2
x - (70 - x) = (70 - x) - (x / 2)
3,5 x = 140
x = 40
7.
A Brahma gyémánttűi
A benaresi templom kupolája alatt márványasztalra erősítve három gyémántű csillog.
Hajdanában, a templom építésekor az elsőn 64 középen átfúrt aranykorong helyezkedett el, legalul a legnagyobb, rajta egy kisebb, azon egy még kisebb és így tovább, egyre csökkenő átmérővel.
Az isteni parancs így szólt:
"Mind a 64 korongot át kell helyezni a második gyémántűre. Áthelyezés közben a harmadik gyémántűt is szabad használni.
A következő utasításokhoz kell tartsák magukat mindazok, akik az áthelyezéssel megpróbálkoznak:
1. Egy tűről csak a legfelső korongot szabad levenni.
2. Korongot áttenni vagy csak üres tűre szabad, vagy olyanra, melyen a legfelső korong átmérője nagyobb, mint az átteendő korongé.
3. Minden másodpercben egy áthelyezés történjék.
Amikor az utolsó korongot is áthelyezik, akkor érkezik el a világvége."
A feladat végrehatásához hány áthelyezésre van szükség? Körülbelül hány év múlva jön el a világvége?
MegoldásHogy a feladatot egyszerűen megoldhassuk, először általánosítsunk. Azt az általánosabb kérdést vizsgáljuk meg, hogy mennyi a másik tűre való legrövidebb átrakás lépésszáma, ha korong van az első tűn.
Ezt a minimális lépésszámot jelöljük an-nel. Belátjuk. hogy an=2n-1-1
A feladatnak ez az általánosítása azért célszerű, mert így teljes indukcióval tudjuk az állítást igazolni, majd utána n = 64 helyettesítéssel a rejtvény megoldását is elnyerjük.
Képletünk n = 1-re jó, hiszen az egyes tűről a kettesre egy korongot egy lépésben tehetek át, s így a1 = 1 = 21 - 1 valóban igaz.
Tegyük fel, hogy n-1-re az állítást már igazoltuk, azaz an-1 = 2n-1 - 1.
Figyeljük a legrövidebb lépésszámú átrakás azon mozzanatát, amikor a legalsó, n-edik korongot rakom át az első tűről a másodikra. Hogy ezt a lépést megtehessem, ahhoz az kell, hogy a többi n-1 korong a harmadik tűn legyen, hiszen ha az első korongon volna még más korong, akkor az alsó korongot nem lehetne elvenni, s ha a harmadikon lenne valamilyen korong, akkor, mivel annak átmérője szükségképp kisebb, mint a legalsó korongé, ezért a legalsó korongot nem lehetne átrakni.
Hogy ehhez a helyzethez eljussunk, először az n-1 felső korongot át kellett tenni a harmadik tűre, s ha ezt a legegyszerűbb úton elvégeztem, ehhez 2n-1 - 1 lépés szükséges az indukciós feltevés értelmében.
Most tehát át tudom tenni azt a korongot az elsőről a második tűre. Ezután még át kell helyeznem a másik n-1 korongot a harmadik tűről a másodikra. Ezen átrakásoknál nem fog minket zavarni az n-edik korong, hiszen azt már nem kell elmozdítani, s mivel a legnagyobb átmérőjű, mindegyik más korongot zavartalanul rá lehet helyezni. Így tehát még annyi lépésre van szükségem, amennyi az n-1 korong átrakásához szükséges minimális lépésszám, azaz 2n-1 - 1.
Vagyis az összes szükséges lépésszám: an = 2n-1 - 1 + 1+ 2n-1 - 1 = 2 x 2n-1.
Tehát abból a feltevésből, hogy az állítás n-1-re igaz, következtetni tudtunk arra, hogy n-re is igaz, továbbá az n= 1 esetben beláttuk az állítás igazságát, így a teljes indukció elvének megfelelően az állítást teljes egészében bizonyítottuk.
A fenti bizonyítás sok mindent elárul. Először is kiderül az az áItalunk burkoltan feltett tény, hogy a feladat valóban megoldható (amit lényegében semmi sem biztosított), s a fenti bizonyítás egyúttal módszert is adott az átrakás végrehajtására. Továbbá bebizonyítottuk azt a szintén burkoltan felhasznált tényt, hogy egyetlen legrövidebb megoldás létezik.
Mindettől függetlenül, ha tudjuk, hogy a feladat megoldható, abból nyilvánvaló, hogy van olyan megoldás, melynél a lépésszám legrövidebb, de hogy csak egyetlen ilyen van, azt bizonyítani kell. A fenti bizonyítás átolvasásánál tisztán látható, hogy a leírt módszer nemcsak elegendő az átrakás elvégzéséhez, hanem szükséges is, vagyis belőle valóban az egyetlen átrakási mód olvasható ki.
Mivel a rejtvényben n = 64, ezért a kívánt átrakáshoz 264-1 lépés szükséges. 264-1 = 18.446.744.073.551.615, s ennyi másodperc több mint 500 millió év, tehát ha az isteni utasítás már pár ezer éve történt is, a világ közeli végétől mégsem kell félnünk.
8.
A nemes lovag és a gonosz varázsló beszélgetnek. A gonosz varázsló egy különös feladványt ad a lovagnak. Ha sikerül megfejtenie, elengedi fogságából, ha nem, meghal.
V: Van nekem három fiam, találd ki, hány évesek! Annyi segítek, hogy életkoruk szorzata 36.
L: Hát ebből még nem tudom kitalálni.
V: Hármójuk korának összege éppen annyi, ahány üveg van az asztalon.
A nemes lovag odanéz, és megszámolja. hány üveg van az asztalon.
L: Még mindig nem tudom megmondani.
V: Azt még elárulom, hogy a legkisebb fiamnak kék a szeme.
Nos, nemes lovag, tudod a megoldást?
VálaszA legfiatalabb fiú tehát 1 éves, és 6 éves ikerpár a másik két fiú.
MegoldásA lovag tudja a három osztó összegét, mégsem tudja eldönteni. hány évesek a kisfiúk. Ez csak úgy lehetséges, ha több variáció is kiad egy bizonyos összeget.
Lássunk egy példát:
1 + 1 + 36 = 38 (a 38 másképp nem hozható ki)
1 + 2 + 18 (a 21 is csak egyféleképpen állítható elő) stb.
Egyetlen olyan összeg van, ami többféleképpen állítható elő, nevezetesen, amikor a fiúk életkorának összege 13.
A két eset: 1, 6, 6 és 2, 2, 9. Itt tudjuk felhasználni a harmadik információt: "a legfiatalabb fiú".
Mivel második esetben az ikrek között nem teszek különbséget, ezért csak az 1, 6 ,6 jöhet szóba.
A legfiatalabb fiú tehát 1 éves, és egy 6 éves ikerpár a másik két fiú.